Korrelationskoeffizient

Korrelationsmaß; Maß, mit dem in der ⇡ Korrelationsanalyse die „Stärke“ eines positiven oder negativen Zusammenhangs (Korrelation) zwischen zwei ⇡ quantitativen Merkmalen bzw. ⇡ Zufallsvariablen gemessen werden kann. Ein aus einer ⇡ Zufallsstichprobe berechneter K. stellt jeweils eine ⇡ Punktschätzung für den entsprechenden Koeffizienten in der ⇡ Grundgesamtheit dar.

- 1. Bravais-Pearsonscher linearer K.: Sind (x_i, y_i) die n beobachteten Wertepaare zweier Merkmale, so ist der Bravais-Pearsonsche K. durch

definiert, wobei x̅ und y̅ die ⇡ arithmetischen Mittel der Werte der beiden Variablen bezeichnen (K. der Stichprobe). Dieser K., der eng mit der ⇡ Kovarianz verwandt ist, liegt, anders als diese, immer zwischen –1 und +1. Falls die (x_i, y_i) alle auf einer Geraden mit positiver (negativer) Steigung liegen, ist r = +1 (r = –1). Der K. der Stichprobe hat wünschenswerte Eigenschaften als ⇡ Schätzwert für den K. der Grundgesamtheit dann, wenn letztere eine zweidimensionale ⇡ Normalverteilung aufweist. Ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable, wobei cov (X, Y) deren Kovarianz ist und var X, var Y die ⇡ Varianzen der beiden Variablen sind, dann ist deren Bravais-Pearsonscher K.

2. Spearman-Pearsonscher Rangkorrelationskoeffizient: Es sei R_xi (R_yi) der ⇡ Rang des Wertes x_i (y_i) innerhalb der n Werte des ersten (zweiten) Merkmals. Der Spearman-Pearsonsche Rangkorrelationskoeffizient ist der Bravais-Pearsonsche Koeffizient dieser Rangwerte und ergibt sich vereinfacht als:

Falls die (x_i, y_i) alle auf einer streng monoton steigenden (fallenden) Kurve liegen, ist r_s = +1 (r_s = –1). Er kann auch bei nur ordinal skalierten Merkmalen (⇡ Ordinalskala) berechnet werden.